1) $$x^2 - 2x - 1 = 0$$ 2) $$45 - 5x^2 = 0$$ 3) $$5x = 2x^2$$ 4) $$3x^2 + 8x - 3 = 0$$ 5) $$\frac{x^2 + 1}{5} = \frac{2x}{3}$$ 8) $$x^2(x - 2) - 4x(x - 2) - 27(x - 2) = 0$$ 9) $$x - \sqrt{x - 6} = 0$$

Задания с корнями:

1. 1) $$x^2 - 2x - 1 = 0$$
   Дискриминант (D) = $$(-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$$.
   $$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{8}}{2(1)} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$
2. 2) $$45 - 5x^2 = 0$$
   $$5x^2 = 45$$
   $$x^2 = 9$$
   $$x = \pm 3$$
3. 3) $$5x = 2x^2$$
   $$2x^2 - 5x = 0$$
   $$x(2x - 5) = 0$$
   $$x = 0$$ или $$2x - 5 = 0$$
   $$x = 0$$ или $$x = \frac{5}{2}$$
4. 4) $$3x^2 + 8x - 3 = 0$$
   Дискриминант (D) = $$8^2 - 4(3)(-3) = 64 + 36 = 100$$.
   $$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2(3)} = \frac{-8 \pm 10}{6}$$
   $$x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
   $$x_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$
5. 5) $$\frac{x^2 + 1}{5} = \frac{2x}{3}$$
   Перемножаем крест-накрест:
   $$3(x^2 + 1) = 5(2x)$$
   $$3x^2 + 3 = 10x$$
   $$3x^2 - 10x + 3 = 0$$
   Дискриминант (D) = $$(-10)^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64$$.
   $$x_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{64}}{2(3)} = \frac{10 \pm 8}{6}$$
   $$x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$
   $$x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
6. 8) $$x^2(x - 2) - 4x(x - 2) - 27(x - 2) = 0$$
   Вынесем общий множитель $$(x - 2)$$:
   $$(x - 2)(x^2 - 4x - 27) = 0$$
   $$x - 2 = 0$$ или $$x^2 - 4x - 27 = 0$$
   $$x = 2$$
   Для $$x^2 - 4x - 27 = 0$$, дискриминант (D) = $$(-4)^2 - 4(1)(-27) = 16 + 108 = 124$$.
   $$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{124}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2\sqrt{31}}{2} = 2 \pm \sqrt{31}$$
   Корни: $$x = 2, x = 2 + \sqrt{31}, x = 2 - \sqrt{31}$$.
7. 9) $$x - \sqrt{x - 6} = 0$$
   $$x = \sqrt{x - 6}$$
   Возведем обе части в квадрат:
   $$x^2 = x - 6$$
   $$x^2 - x + 6 = 0$$
   Дискриминант (D) = $$(-1)^2 - 4(1)(6) = 1 - 24 = -23$$.
   Так как D < 0, действительных корней нет.