7) один катет прямоугольного △ на 7см больше другого, а гипотенуза равна 13см. Найди катеты этого △.

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая связывает длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим один катет как $$x$$. Так как второй катет на 7 см больше, его длина будет $$x + 7$$.
2. Шаг 2: Применим теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$a$$ и $$b$$ — катеты, а $$c$$ — гипотенуза. В нашем случае: $$x^2 + (x + 7)^2 = 13^2$$.
3. Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение: $$x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169$$.
4. Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: $$2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0 ightarrow 2x^2 + 14x - 120 = 0$$.
5. Шаг 5: Разделим все члены уравнения на 2: $$x^2 + 7x - 60 = 0$$.
6. Шаг 6: Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289$$.
7. Шаг 7: Вычислим корни уравнения: $$x_{1,2} = rac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = rac{-7 \pm \sqrt{289}}{2(1)} = rac{-7 \pm 17}{2}$$.
8. Шаг 8: Найдем значения катетов:
   $$x_1 = rac{-7 + 17}{2} = rac{10}{2} = 5$$ см.
   $$x_2 = rac{-7 - 17}{2} = rac{-24}{2} = -12$$ см.
9. Шаг 9: Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем положительное значение $$x = 5$$ см.
10. Шаг 10: Найдем длину второго катета: $$x + 7 = 5 + 7 = 12$$ см.

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.