9) Найдите все целые значения p, при которых уравнение $$x^2 - px - 10 = 0$$ имеет целые корни.

Краткое пояснение:

Для того чтобы квадратное уравнение имело целые корни, необходимо, чтобы его дискриминант был полным квадратом, и чтобы корни, найденные по формуле, оказались целыми числами. Также можно воспользоваться теоремой Виета.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем теорему Виета. Для уравнения $$x^2 - px - 10 = 0$$, если $$x_1$$ и $$x_2$$ — целые корни, то:
   $$x_1 + x_2 = p$$
   $$x_1 ∙ x_2 = -10$$
2. Шаг 2: Находим пары целых множителей числа -10:
   
   • 1 и -10
   • -1 и 10
   • 2 и -5
   • -2 и 5
   • 5 и -2
   • -5 и 2
   • 10 и -1
   • -10 и 1
3. Шаг 3: Для каждой пары множителей находим значение $$p = x_1 + x_2$$:
   
   • Если $$x_1 = 1, x_2 = -10$$, то $$p = 1 + (-10) = -9$$.
   • Если $$x_1 = -1, x_2 = 10$$, то $$p = -1 + 10 = 9$$.
   • Если $$x_1 = 2, x_2 = -5$$, то $$p = 2 + (-5) = -3$$.
   • Если $$x_1 = -2, x_2 = 5$$, то $$p = -2 + 5 = 3$$.
   • Если $$x_1 = 5, x_2 = -2$$, то $$p = 5 + (-2) = 3$$.
   • Если $$x_1 = -5, x_2 = 2$$, то $$p = -5 + 2 = -3$$.
   • Если $$x_1 = 10, x_2 = -1$$, то $$p = 10 + (-1) = 9$$.
   • Если $$x_1 = -10, x_2 = 1$$, то $$p = -10 + 1 = -9$$.
4. Шаг 4: Отбираем уникальные значения $$p$$: $$-9, 9, -3, 3$$.

Ответ: Целые значения $$p$$ равны $$-9, 9, -3, 3$$.