1-й вариант. 2) Из точки M к плоскости α проведены две наклонные длины которых равны 18 см и 2√109 см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. Найдите расстояние от точки M до плоскости α.

Пусть проекции наклонных равны \(3x\) и \(4x\), а расстояние от M до плоскости — \(h\). Более длинной наклонной соответствует более длинная проекция.

По теореме Пифагора:

\(h^2+9x^2=18^2=324\),

\(h^2+16x^2=(2\sqrt{109})^2=436\).

Вычтем первое равенство из второго: \(7x^2=112\), поэтому \(x^2=16\).

Тогда \(h^2=324-9\cdot16=180\), откуда \(h=6\sqrt{5}\) см.

Ответ: \(6\sqrt{5}\) см.