2-й вариант. 1) Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ∠A = 30°, AC = 8, MC ⟂ (ABC). Найти расстояние: а) от точки C до AB; б) от точки M до прямой AB. На рисунке MC = 4√3.

а) В прямоугольном треугольнике ABC катет BC лежит напротив угла 30°, поэтому \(BC=AC\cdot\tan30°=\frac{8}{\sqrt{3}}\). Гипотенуза \(AB=\frac{AC}{\cos30°}=\frac{16}{\sqrt{3}}\).

Высота из C к гипотенузе AB равна \(\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot(8/\sqrt{3})}{16/\sqrt{3}}=4\).

б) Перпендикуляр MC перпендикулярен плоскости ABC, значит, расстояние от M до AB находится по прямоугольному треугольнику, образованному MC и расстоянием от C до AB:

\(d(M,AB)=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+4^2}=\sqrt{64}=8\).

Ответ: а) 4; б) 8.