1. Записать формулы производных степенной и тригонометрических функций. Сформулировать теоремы о производных суммы и произведения. Привести примеры.

Решение:

1. Производные степенной и тригонометрических функций:

• Степенная функция: \( (x^n)' = nx^{n-1} \). Пример: \( (x^3)' = 3x^2 \).
• Тригонометрические функции:
  • \( ()' = \)
  • \( ()' = - \)
  • \( ()' = \)
  • \( ()' = - \)

2. Теоремы о производных:

• Теорема о производной суммы: Производная суммы двух функций равна сумме их производных: \( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \). Пример: \( (x^2 + )' = (x^2)' + ()' = 2x + \).
• Теорема о производной произведения: Производная произведения двух функций равна сумме произведения первой функции на производную второй и произведения второй функции на производную первой: \( (f(x) )' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \). Пример: \( (x^3 )' = (x^3)' + x^3()' = 3x^2 + x^3()' \).

Ответ: Формулы и теоремы приведены выше.