1. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа и найдите их произведение и частное. 1) z₁ = −2 − 2i; z₂ = 1 − i; 2) z₁ = −√3 + i; z₂ = 1 + i√3.

1) Для первого числа модуль равен \(|z_1|=2\sqrt2\), аргумент можно взять \(5\pi/4\). Для второго \(|z_2|=\sqrt2\), аргумент \(7\pi/4\).

Тригонометрические формы:

\(z_1=2\sqrt2\bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\bigr)\), \(z_2=\sqrt2\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\bigr)\).

При умножении модулей их произведение, а аргументы складываются:

\(z_1z_2=4\bigl(\cos 3\pi+i\sin 3\pi\bigr)=-4\).

При делении модулей их частное, а аргументы вычитаются:

\(\frac{z_1}{z_2}=2\bigl(\cos(-\frac{\pi}{2})+i\sin(-\frac{\pi}{2})\bigr)=-2i\).

2) Для \(z_1=-\sqrt3+i\): \(|z_1|=2\), аргумент \(5\pi/6\). Для \(z_2=1+i\sqrt3\): \(|z_2|=2\), аргумент \(\pi/3\).

Тригонометрические формы:

\(z_1=2\bigl(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)\), \(z_2=2\bigl(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\bigr)\).

Произведение:

\(z_1z_2=4\bigl(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\bigr)=-2\sqrt3-2i\).

Частное:

\(\frac{z_1}{z_2}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i\).

Ответ: 1) \(z_1z_2=-4\), \(z_1/z_2=-2i\); 2) \(z_1z_2=-2\sqrt3-2i\), \(z_1/z_2=i\).