2. Вычислите: 1) (−√3 − i)⁷; 2) (2 + 2i)⁷.

1) Представим число \(-\sqrt3-i\) в тригонометрической форме. Его модуль равен \(2\), аргумент — \(7\pi/6\):

\(-\sqrt3-i=2\bigl(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6}\bigr)\).

По формуле Муавра:

\((-\sqrt3-i)^7=2^7\bigl(\cos\frac{49\pi}{6}+i\sin\frac{49\pi}{6}\bigr)=128\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\bigr)=64\sqrt3+64i\).

2) \(2+2i=2\sqrt2\bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\bigr)\). Тогда

\((2+2i)^7=(2\sqrt2)^7\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\bigr)=1024\sqrt2\bigl(\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\bigr)=1024-1024i\).

Ответ: 1) \(64\sqrt3+64i\); 2) \(1024-1024i\).