3. Вычислите: √(−1 − √3i).

Подкоренное число имеет модуль \(\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=2\) и аргумент \(-2\pi/3\). Поэтому его главный квадратный корень имеет модуль \(\sqrt2\) и аргумент \(-\pi/3\):

\(\sqrt{-1-\sqrt3i}=\sqrt2\bigl(\cos(-\frac{\pi}{3})+i\sin(-\frac{\pi}{3})\bigr)=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i\).

Проверка: \((\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i)^2=-1-\sqrt3i\).

Ответ: \(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt6}{2}i\).