10. (1 балл) Найдите координаты векторов: -2а, -0,5б, 2а+б, аб, если: а{1; 3; 5}, Б {-2; 4; 2}.

Решение:

Даны векторы \(\vec{a} = \{1; 3; 5\}\) и \(\vec{b} = \{-2; 4; 2\}\).

1. Вектор -2а:

Умножаем каждую координату вектора \(\vec{a}\) на -2:

\[ -2\vec{a} = -2 \cdot \{1; 3; 5\} = \{-2 \cdot 1; -2 \cdot 3; -2 \cdot 5\} = \{-2; -6; -10\} \]

2. Вектор -0,5б:

Умножаем каждую координату вектора \(\vec{b}\) на -0,5:

\[ -0.5\vec{b} = -0.5 \cdot \{-2; 4; 2\} = \{-0.5 \cdot (-2); -0.5 \cdot 4; -0.5 \cdot 2\} = \{1; -2; -1\} \]

3. Вектор 2а + б:

Сначала умножим \(\vec{a}\) на 2, затем сложим с \(\vec{b}\):

\(2\vec{a} = 2 \cdot \{1; 3; 5\} = \{2; 6; 10\}\)

\(2\vec{a} + \vec{b} = \{2; 6; 10\} + \{-2; 4; 2\} = \{2 + (-2); 6 + 4; 10 + 2\} = \{0; 10; 12\}\)

4. Скалярное произведение аб:

Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]

Подставляем значения:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-2) + (3)(4) + (5)(2) \]\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -2 + 12 + 10 \]\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \]

Ответ:

• \(-2\vec{a} = \{-2; -6; -10\}\)
• \(-0.5\vec{b} = \{1; -2; -1\}\)
• \(2\vec{a} + \vec{b} = \{0; 10; 12\}\)
• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 20\)