4. (1 балл) Найдите корень уравнения sin \((x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\)

Решение:

Уравнение имеет вид \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\), где \(\alpha = x + \frac{\pi}{4}\).

Общее решение уравнения \(\sin x = a\) имеет вид \(x = (-1)^n \arcsin a + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

В нашем случае \(\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\).

Следовательно, \(x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n\).

Выразим \(x\):

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n - \frac{\pi}{4} \]

Рассмотрим два случая:

1. При \(n\) — четном, \(n = 2k\), \(k \in \mathbb{Z}\):

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \]

2. При \(n\) — нечетном, \(n = 2k+1\), \(k \in \mathbb{Z}\):

\[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi (2k+1) - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi k - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{10\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \]

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k\) или \(x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).