10. (1 балл) В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Найдите высоту.

Решение:

Дано:

Треугольник ABC, AC = BC (равнобедренный).

AB = 6.

\( \cos A = \frac{3}{5} \).

Найти: Высоту (обозначим как CH, где H — середина AB, так как треугольник равнобедренный).

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Значит, \( AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нём \( \angle A \) — один из острых углов, \( AC \) — гипотенуза, \( AH \) — прилежащий катет, \( CH \) — противолежащий катет (высота).

   По определению косинуса: \( \cos A = \frac{AH}{AC} \).

   Подставим известные значения: \( \frac{3}{5} = \frac{3}{AC} \).

   Отсюда находим длину гипотенузы \( AC \): \( AC = 5 \).

3. Теперь найдём высоту CH, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ACH: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).

   \( 5^2 = 3^2 + CH^2 \)

   \( 25 = 9 + CH^2 \)

   \( CH^2 = 25 - 9 \)

   \( CH^2 = 16 \)

   \( CH = \sqrt{16} = 4 \).

Ответ: 4.