13. (1 балл) Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания цилиндра равен 2. Объем параллелепипеда равен 80. Найдите высоту цилиндра.

Решение:

Дано:

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед.

Радиус основания цилиндра \( r = 2 \).

Объем параллелепипеда \( V_{паралл} = 80 \).

Найти: Высоту цилиндра \( h_{цил} \).

1. Если цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то высота цилиндра равна высоте параллелепипеда: \( h_{цил} = h_{паралл} \).
2. Диаметр основания цилиндра равен стороне основания параллелепипеда, к которой он прилегает. Если цилиндр вписан, то в основании параллелепипеда лежит квадрат, а диаметр цилиндра равен стороне этого квадрата.
3. Диаметр основания цилиндра \( d = 2r = 2 \cdot 2 = 4 \).
4. Значит, сторона основания параллелепипеда \( a = 4 \).
5. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( V_{паралл} = a \cdot b \cdot h \). В нашем случае основание — квадрат, поэтому \( a = b \).
6. \( V_{паралл} = a^2 \cdot h_{паралл} \).
7. Подставим известные значения: \( 80 = 4^2 \cdot h_{паралл} \)
8. \( 80 = 16 \cdot h_{паралл} \)
9. Найдем высоту параллелепипеда: \( h_{паралл} = \frac{80}{16} = 5 \).
10. Так как \( h_{цил} = h_{паралл} \), то высота цилиндра равна 5.

Ответ: 5.