10. (1 балл) В треугольнике АВС АС = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Найдите высоту СН.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) проведем высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH имеем:

• \( \textrm{cos A} = \frac{AH}{AC} \)
• \( AH = AC \textrm{cos A} \)
• \( AC = BC \), \( AB = 6 \)
• \( \textrm{cos A} = \frac{3}{5} \)
• \( AH = AC \times \frac{3}{5} \)
• \( AB = 2 \times AH \) (так как CH - высота и медиана в равнобедренном треугольнике)
• \( AH = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
• Подставим значение AH: \( 3 = AC \times \frac{3}{5} \)
• \( AC = 3 \times \frac{5}{3} = 5 \)
• Теперь найдем высоту CH по теореме Пифагора в треугольнике ACH: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)
• \( CH^2 = AC^2 - AH^2 \)
• \( CH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \)
• \( CH = \textrm{sqrt}(16) = 4 \)

Ответ: 4