10.1. Найдите все пары натуральных чисел $(a,b)$, для которых выполняется равенство $(3^a-1)^b=3^b+a!+3$, где через $a!$ обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10.1. Найдите все пары натуральных чисел $(a,b)$, для которых выполняется равенство $(3^a-1)^b=3^b+a!+3$, где через…$ Фото задания

10.1. Найдите все пары натуральных чисел $(a,b)$, для которых выполняется равенство $(3^a-1)^b=3^b+a!+3$, где через $a!$ обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до $a$.

Accepted Answer

Рассмотрим равенство по модулю 3. Левая часть сравнима с $(-1)^b$, а правая — с $a!$. Если $a\ge 3$, то $a!\equiv0\pmod3$, тогда как $(-1)^b\not\equiv0\pmod3$. Значит, $a=1$ или $a=2$.
При $a=1$ получаем $2^b=3^b+4$, что невозможно, поскольку при любом натуральном $b$ имеем $2^b<3^b$.
При $a=2$ уравнение становится $8^b=3^b+5$. При $b=1$ равенство верно: $8=3+5$. При $b\ge2$, $8^b>3^b+5$: это верно уже при $b=2$, а разность $8^b-3^b$ возрастает с ростом $b$.

Ответ: $(a,b)=(2,1)$.