10.3. Каждой паре $(x,y)$ целых чисел сопоставили некоторое целое число и обозначили его через $x\circ y$. При этом числа $x\circ y$ и $y\circ x$ могут быть различными. Оказалось, что для любых целых чисел $a,b,c,d$ выполняется равенство $(a\circ b+d)\circ c=(a-b)\circ(c-d)+1$. Найдите значение $2025\circ1991$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10.3. Каждой паре $(x,y)$ целых чисел сопоставили некоторое целое число и обозначили его через $x\circ y$. При этом числа…$ Фото задания

10.3. Каждой паре $(x,y)$ целых чисел сопоставили некоторое целое число и обозначили его через $x\circ y$. При этом числа $x\circ y$ и $y\circ x$ могут быть различными. Оказалось, что для любых целых чисел $a,b,c,d$ выполняется равенство $(a\circ b+d)\circ c=(a-b)\circ(c-d)+1$. Найдите значение $2025\circ1991$.

Accepted Answer

Такого соответствия целых чисел не существует: условие приводит к противоречию.

Зафиксируем целые $u,v$ и подставим $a=b+u$, $c=d+v$. Тогда для любых целых $b,d$: $( (b+u)\circ b+d)\circ(d+v)=u\circ v+1$.
При фиксированных $u,v,b$ число $(b+u)\circ b$ постоянно. Так как $d$ пробегает все целые значения, получаем, что $t\circ(t+v)=u\circ v+1$ для всех целых $t$.
Следовательно, при фиксированном втором аргументе $v\,$, значение $u\circ v$ не зависит от $u$. Обозначим его через $g(v)$.
Исходное равенство тогда принимает вид $g(c)=g(c-d)+1$. Взяв $d=0$, получаем $g(c)=g(c)+1$, что невозможно.

Значит, предпосылка задачи противоречива, и значение $2025\circ1991$ определить нельзя. Возможно, в условии допущена опечатка.

Ответ: