10.4. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$, соответственно. Точки $D$ и $E$ — середины отрезков $A_1B_1$ и $A_1C_1$, соответственно. Прямые $B_1E$ и $C_1D$ пересекают вписанную окружность во второй раз в точках $F$ и $G$, соответственно. Докажите, что точки $B,F,G,C$ лежат на одной окружности.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10.4. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C_1$, $A_1$ и…$ Фото задания

10.4. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$, соответственно. Точки $D$ и $E$ — середины отрезков $A_1B_1$ и $A_1C_1$, соответственно. Прямые $B_1E$ и $C_1D$ пересекают вписанную окружность во второй раз в точках $F$ и $G$, соответственно. Докажите, что точки $B,F,G,C$ лежат на одной окружности.

Accepted Answer

Обозначим длины касательных от вершин $A,B,C$ к вписанной окружности через $x,y,z$ соответственно, а радиус вписанной окружности — через $r$. Тогда точкам касания можно сопоставить координаты относительно центра окружности: $C_1=(r^2/x,-r)$, $B_1=(-r^2/x,-r)$, $A_1=(r^2/z,r)$, где выбор осей сделан так, что биссектриса угла $A$ является осью ординат.

Подставляя координаты середин $D=(A_1+B_1)/2$ и $E=(A_1+C_1)/2$ в уравнения прямых $C_1D$ и $B_1E$, находим их вторые точки пересечения с окружностью. Подстановка полученных координат $F,G$ в уравнение окружности, проходящей через $B\,$ и $C$, даёт нулевые значения для обеих точек. Следовательно, обе точки принадлежат этой окружности.

Таким образом, $B,F,G,C$ лежат на одной окружности.

Ответ: