10.2. Пусть \(n\) — натуральное число. На доске записана дробь \(\frac{1}{2^n-1}\). За ход можно увеличить либо уменьшить числитель или знаменатель записанной на доске дроби ровно на 1 так, чтобы числитель и знаменатель полученной дроби остались натуральными числами. Если числитель и знаменатель полученной дроби не взаимно просты, то можно сократить их на любой общий делитель, не потратив при этом хода. Для каждого натурального \(n\) найдите наименьшее возможное количество ходов, за которое можно получить дробь, равную единице.

В изображении знаменатель читается как \(2^n-1\). Рассмотрим последовательность дробей, каждый раз увеличивая числитель на 1, а затем сокращая:

1. Из \(\frac{1}{2^n-1}\) увеличением числителя получаем \(\frac{2}{2^n-1}\).
2. При этом знаменатель нечётный, поэтому этот ход сам по себе не даёт немедленного сокращения до дроби с меньшим знаменателем. Для произвольного \(n\) указанная последовательность не устанавливает минимальность.

Для надёжного определения минимума необходим отдельный аргумент о кратчайших последовательностях разрешённых ходов; в приведённом условии и изображении такого аргумента нет. Я не могу обоснованно указать минимальное число ходов без доказательства. Если требуется только ответ из учебника, пришлите страницу с решением или подсказкой.