10. а) На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что BM:MC=3:10. В каком отношении отрезок AM делит медиану BK треугольника ABC? б) На стороне AB треугольника ABC отмечена точка M так, что AM:MB=4:3. В каком отношении медиана BK делится отрезком CM? в) На стороне AB треугольника ABC отмечена точка M так, что AM:MB=4:3. В каком отношении медиана BK делит отрезок CM?

а) Пусть N — точка пересечения AM и медианы BK. Так как K — середина AC, то AK:KC = 1:1. По теореме Менелая для треугольника BKC и секущей A–N–M (с учётом отношения отрезков на прямых) получаем BN:NK = 13:3. Следовательно, отрезок AM делит медиану BK в отношении 13:3.

б) Пусть N — пересечение CM и BK. Для треугольника ABK точки M на AB и C на продолжении AK дают по теореме Менелая отношение BN:NK = 3:4. Значит, CM делит медиану BK в отношении 3:4.

в) Данные те же, что в пункте б), поэтому точка пересечения делит BK в том же отношении: BN:NK = 3:4.

Ответ: а) 13:3; б) 3:4; в) 3:4.