10. ABCA₁B₁C₁ — прямая призма, AC = BC, AB = 2AA₁. Найдите скалярное произведение векторов AB и C₁A₁.

Условие задаёт равнобедренный треугольник основания и высоту призмы, равную половине AB, но не задаёт угол при вершине C или длины основания. Поэтому численное значение скалярного произведения не определяется однозначно.

Обозначим \(|AB|=c\), угол между \(AB\) и \(AC\) через \(\alpha\). Поскольку \(AC=BC\), проекция \(C\) на прямую AB — середина AB, и \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=c^2/2\). Перенос от C к C₁ и от A к A₁ одинаков, поэтому \(\vec{C_1A_1}=\vec{CA}\). Следовательно, \(\vec{AB}\cdot\vec{C_1A_1}=-c^2/2\). Без длины AB числовое значение получить нельзя.

Ответ: \(-|AB|^2/2\); для численного значения не хватает длины AB.