12. ABCA₁B₁C₁ — прямая призма, AC = BC, AB = 2AA₁. Найдите скалярное произведение векторов MB₁ и BC₁ (M — середина AB).

Условие не задаёт длину AB и не задаёт угол основания полностью, поэтому численное значение скалярного произведения не определяется однозначно. Более того, в обозначении \(\vec{BC_1}\) необходимо точно различать нижнюю вершину B и верхнюю C₁; на рисунке это читается, но геометрических данных всё равно недостаточно для числа.

Пусть \(|AB|=c\), а высота призмы \(h=AA_1=c/2\). Так как AC=BC, при M — середине AB вектор \(MC\) перпендикулярен AB. Разложим \(\vec{MB_1}=\vec{MB}+\vec{BB_1}\), \(\vec{BC_1}=\vec{BC}+\vec{CC_1}\). Горизонтальная часть скалярного произведения равна \(\vec{MB}\cdot\vec{BC}=c^2/4\), вертикальная — \(h^2=c^2/4\). Итак, произведение равно \(c^2/2\).

Ответ: \(|AB|^2/2\); численное значение нельзя получить без длины AB.