10. ABCD — прямоугольник, AB = 12. Диагональ AC, точка E на AC; BE перпендикулярна AC. Если AE : EC = 1 : 3, найти AC.

Пусть \(AE=x\), тогда \(EC=3x\) и \(AC=4x\). В прямоугольном треугольнике ABC высота BE опущена на гипотенузу AC, поэтому выполняется свойство катета: \(AB^2=AE\cdot AC\).

\(12^2=x\cdot4x\), значит \(144=4x^2\) и \(x=6\) (длина положительна).

\(AC=4x=24\).

Ответ: \(AC=24\).