10. \(AM\) — биссектриса, \(\angle CAB=60^\circ\), \(AM=?\)

На рисунке треугольник \(ACB\) прямоугольный при \(C\), гипотенуза \(AB=6\), а \(AM\) — биссектриса угла \(A\). Так как \(\angle CAB=60^\circ\), то \(\angle A=60^\circ\), \(\angle B=30^\circ\).

Катеты прямоугольного треугольника:

\[AC=AB\sin30^\circ=6\cdot\frac12=3,\]

\[BC=AB\sin60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3.\]

По формуле длины биссектрисы:

\[AM^2=AB\cdot AC\left(1-\frac{BC^2}{(AB+AC)^2}\right).\]

Подставим значения:

\[AM^2=6\cdot3\left(1-\frac{(3\sqrt3)^2}{(6+3)^2}\right)=18\left(1-\frac{27}{81}\right)=18\cdot\frac23=12.\]

Следовательно,

\[AM=2\sqrt3.\]

Ответ: \(AM=2\sqrt3\).