9. \(AD-BC=4\), \( g\alpha=2\), \(S_{ABCD}=?\)

На рисунке \(ABCD\) — равнобедренная трапеция: \(AD\parallel BC\), а боковые стороны равны. Диагональ \(BD\) перпендикулярна боковой стороне \(AB\). Угол \(\alpha\) — угол между \(AB\) и основанием \(AD\).

Обозначим высоту трапеции через \(h\), а горизонтальную проекцию боковой стороны \(AB\) на основание — через \(x\). Тогда

\[ g\alpha=\frac{h}{x}=2,\qquad h=2x.\]

В равнобедренной трапеции разность оснований равна удвоенной проекцией боковой стороны:

\[AD-BC=2x=4,\qquad x=2.\]

Следовательно, \(h=2x=4\).

Из условия \(AB\perp BD\) получаем для соответствующих углов, что диагональ и боковая сторона задают прямоугольную конфигурацию; однако данных \(AD-BC\) и \( g\alpha\) недостаточно для определения суммы оснований, а значит, недостаточно и для однозначного вычисления площади трапеции.

Площадь можно записать только в виде:

\[S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot4=2(AD+BC).\]

Ответ: числовое значение площади по указанным данным однозначно не определяется; \(S=2(AD+BC)\).