10. \(AM\) — биссектриса, \(\angle CAB=60^\circ\), \(\angle AMB=?\)

На рисунке треугольник \(ABC\) прямоугольный: \(\angle ACB=90^\circ\). Отрезок \(AM\) — биссектриса угла \(A\), а точка \(M\) лежит на стороне \(CB\).

Так как \(\angle CAB=60^\circ\), то

\[\angle CAM=\angle MAB=30^\circ.\]

В прямоугольном треугольнике \(ACM\):

\[\angle ACM=90^\circ,\qquad \angle CAM=30^\circ,\]

поэтому

\[\angle AMC=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ.\]

Поскольку точки \(C,M,B\) лежат на одной прямой, углы \(AMC\) и \(AMB\) смежные:

\[\angle AMB=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\]

Ответ: \(\angle AMB=120^\circ\).