10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 14 см, а диагональ делит среднюю линию на два отрезка, равные 9 см и 16 см. Найди углы трапеции.

Диагональ делит среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований. Следовательно, основания равны \(2\cdot9=18\) см и \(2\cdot16=32\) см.

Разность оснований равна \(32-18=14\) см. В равнобедренной трапеции проекция каждой боковой стороны на большее основание равна половине разности оснований: \(14:2=7\) см.

Боковая сторона, её проекция и высота образуют прямоугольный треугольник. Его гипотенуза равна 14 см, а прилежащий к острому углу катет — 7 см. Поэтому \(\cos\alpha=\frac{7}{14}=\frac12\), откуда \(\alpha=60^\circ\). Соседние углы при боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\), значит, второй угол равен \(120^\circ\).

Ответ: углы трапеции равны 60°, 60°, 120° и 120°.