10. Дано: AB · BK = CB · BP. На рисунке BK = 6, BP = 4, PC = 11. Найти: AK.

Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(CBP\).

1. У них общий угол при точке \(B\), так как лучи \(BA\) и \(BC\), а также \(BK\) и \(BP\) образуют соответствующие углы.
2. Из условия \(AB\cdot BK=CB\cdot BP\) получаем:
   \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BP}{BK}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\).
3. По подобию треугольников:
   \(\dfrac{AK}{CP}=\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{2}{3}\).
4. Тогда \(AK=11\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{22}{3}\).

Ответ: \(AK=\dfrac{22}{3}\).