10) Дано: α ∥ β. Доказать: ∠PB₁A₁ + ∠ABB₁ = 180°.

Так как α ∥ β, отрезки AB и A₁B₁ параллельны. Прямая PBB₁ является секущей этих параллельных прямых.

Угол ∠ABB₁ образован лучами BA и BB₁. Угол ∠PB₁A₁ образован лучами B₁P и B₁A₁; лучи B₁P и BB₁ противоположны, а BA ∥ B₁A₁. Поэтому эти углы являются односторонними внутренними и в сумме дают 180°.

Ответ: ∠PB₁A₁ + ∠ABB₁ = 180°.