7) Дано: α ∥ β. O — середина AA₁. Доказать: ΔAOB = ΔA₁OB₁.

Поскольку O — середина AA₁, имеем AO = OA₁.

Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в O, поэтому ∠AOB = ∠A₁OB₁ как вертикальные углы.

Так как α ∥ β, а AB и A₁B₁ — линии пересечения этих плоскостей с плоскостью, содержащей прямые AA₁ и BB₁, то AB ∥ A₁B₁. Следовательно, ∠OAB = ∠OA₁B₁ как накрест лежащие углы.

Значит, треугольники AOB и A₁OB₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: ΔAOB = ΔA₁OB₁.