9) Дано: α ∥ β, A — середина PA₁. Доказать: B — середина PB₁.

Так как A — середина PA₁, то PA = AA₁, следовательно, PA₁ = 2PA.

Из параллельности плоскостей α и β следует AB ∥ A₁B₁. Поэтому треугольники PAB и PA₁B₁ подобны, а отношение соответствующих сторон равно отношению расстояний от P до плоскостей:

\(\dfrac{PB}{PB_1}=\dfrac{PA}{PA_1}=\dfrac{1}{2}\).

Значит, PB = BB₁, то есть B — середина PB₁.

Ответ: B — середина PB₁.