10. Даны точки \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 0; 1)\), \(C(0; 1; 1)\), \(D(1; 1; 0)\). Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).

Найдём два соседних вектора:

\[\overrightarrow{AB}=B-A=(-1;0;1),\qquad \overrightarrow{AD}=D-A=(0;1;0).\]

Их скалярное произведение равно нулю:

\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(-1)\cdot0+0\cdot1+1\cdot0=0,\]

поэтому угол между ними прямой. Площадь параллелограмма равна произведению длин его соседних сторон:

\[S=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AD}|.\]

\[|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt2,\qquad |\overrightarrow{AD}|=1.\]

Тогда

\[S=\sqrt2\cdot1=\sqrt2.\]

Ответ: \(S_{ABCD}=\sqrt2\).