10. Диаметр окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 10см, а сторона многоугольника -10 см. Найти количество сторон данного многоугольника и радиус описанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности r = 10 / 2 = 5 см. Сторона многоугольника a = 10 см.

2. Апофема многоугольника равна радиусу вписанной окружности, r = 5 см. Для правильного многоугольника, a = 2 * r * tan(π/n), где n - количество сторон. 10 = 2 * 5 * tan(π/n), следовательно, tan(π/n) = 1. Это означает, что π/n = π/4, откуда n = 4.

3. Радиус описанной окружности R = sqrt(r² + (a/2)²) = sqrt(5² + (10/2)²) = sqrt(25 + 25) = sqrt(50) = 5 * sqrt(2) см.