10. Докажите, что при любом целом п: а) значение выражения (8n + 4)² - (2n + 1)² делится на 15;

Решение:

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) к выражению \( (8n + 4)^2 - (2n + 1)^2 \).

\( (8n + 4)^2 - (2n + 1)^2 = ((8n + 4) - (2n + 1))((8n + 4) + (2n + 1)) \)
\( = (8n + 4 - 2n - 1)(8n + 4 + 2n + 1) \)
\( = (6n + 3)(10n + 5) \)
\( = 3(2n + 1) · 5(2n + 1) \)
\( = 15(2n + 1)^2 \)

Так как полученное выражение равно \( 15 \) умноженное на \( (2n + 1)^2 \), то оно делится на \( 15 \) для любого целого \( n \).

Ответ: Доказано.