10. Докажите, что при любом целом п: а) значение выражения (8п + 4)² - (2n + 1)² делится на 15;

Доказательство делимости выражения:

a) Докажем, что \( (8n + 4)^2 - (2n + 1)^2 \) делится на 15 для любого целого \( n \).

Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

Здесь \( a = 8n + 4 \) и \( b = 2n + 1 \).

Найдем \( a - b \):

\( (8n + 4) - (2n + 1) = 8n + 4 - 2n - 1 = 6n + 3 \).

Найдем \( a + b \):

\( (8n + 4) + (2n + 1) = 8n + 4 + 2n + 1 = 10n + 5 \).

Теперь выражение примет вид:

\( (6n + 3)(10n + 5) \).

Вынесем общие множители из каждой скобки:

Из первой скобки вынесем 3: \( 3(2n + 1) \).

Из второй скобки вынесем 5: \( 5(2n + 1) \).

Теперь выражение выглядит так:

\( 3(2n + 1) \cdot 5(2n + 1) \).

Перемножим числа и получим:

\( 15 \cdot (2n + 1)(2n + 1) \) или \( 15 \cdot (2n + 1)^2 \).

Поскольку выражение можно представить как 15, умноженное на целый множитель \( (2n + 1)^2 \), то оно делится на 15 для любого целого \( n \).

Доказано.