10. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 69) с помощью векторного метода.

Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\). Возьмём произвольное начало отсчёта \(O\). По свойству середины отрезка:

\(\vec{OM}=(\vec{OA}+\vec{OB})/2\), \(\vec{ON}=(\vec{OA}+\vec{OC})/2\).

Вычтем первое равенство из второго:

\(\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM}=(\vec{OC}-\vec{OB})/2=\vec{BC}/2\).

Значит, векторы \(\vec{MN}\) и \(\vec{BC}\) сонаправлены, а длина \(MN\) равна половине длины \(BC\).

Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.