9. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Пусть \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) четырёхугольника \(ABCD\). По теореме о средней линии треугольника в треугольниках \(ABC\) и \(ADC\): \(MN\parallel AC\) и \(MN=AC/2\); \(QP\parallel AC\) и \(QP=AC/2\). Поэтому \(MNPQ\) — параллелограмм.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Диагонали параллелограмма \(MNPQ\) — это \(MP\) и \(NQ\), то есть отрезки, соединяющие середины противоположных сторон исходного четырёхугольника.

Ответ: точка пересечения этих отрезков делит каждый из них пополам.