8. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), причём \(a\ge b\). Обозначим её вершины последовательно \(A,B,C,D\), где \(AB\parallel CD\), а середины диагоналей \(AC\) и \(BD\) — соответственно \(M\) и \(N\).

Выберем координаты так, чтобы \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(D=(u,h)\), \(C=(u+b,h)\). Тогда по формуле координат середины:

\(M=((u+b)/2,\ h/2)\), \(N=((a+u)/2,\ h/2)\).

У точек \(M\) и \(N\) одинаковые ординаты, следовательно, \(MN\parallel AB\parallel CD\). Кроме того, \(MN=|(a+u)/2-(u+b)/2|=(a-b)/2\).

Ответ: отрезок параллелен основаниям и равен половине разности их длин.