10. Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город B на 10 часов раньше, чем велосипедист приехал в город A, а встретились они через 3 часа 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города B в город A велосипедист?

Пусть скорости мотоциклиста и велосипедиста равны соответственно v и u. Время до встречи равно \(3\) ч \(45\) мин = \(3.75\) ч.

Пусть \(r=\frac{v}{u}\). Так как расстояние между городами равно \(3.75(v+u)\), разность времени движения до конечных пунктов составляет:

\[3.75\left(\frac{v+u}{u}-\frac{v+u}{v}\right)=10.\]

После подстановки \(r=\frac{v}{u}\):

\[3.75\left(r-\frac{1}{r}\right)=10,\]

\[r-\frac{1}{r}=\frac{8}{3}.\]

Получаем \(3r^2-8r-3=0\), откуда положительный корень \(r=3\).

Полное время движения велосипедиста:

\[3.75(r+1)=3.75\cdot4=15\text{ ч}.\]

Ответ: 15 часов.