10. Известно, что число $$a$$ при делении на 7 дает остаток 4, а при делении на 3 — остаток 1. Какой остаток получится при делении этого числа на 21?

Решение:

По условию, число $$a$$ можно представить в виде:

• $$a = 7k + 4$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$ (остаток 4 при делении на 7).
• $$a = 3m + 1$$, где $$m \in \mathbb{Z}$$ (остаток 1 при делении на 3).

Подставим первое выражение во второе:

$$7k + 4 = 3m + 1$$

$$7k + 3 = 3m$$

Разделим обе части на 3:

\(\frac{7k}{3} + 1 = m\)

\(\frac{6k}{3} + \frac{k}{3} + 1 = m\)

$$2k + \frac{k}{3} + 1 = m$$

Так как $$m$$ и $$k$$ — целые числа, то $$\frac{k}{3}$$ должно быть целым числом. Это означает, что $$k$$ должно делиться на 3. Пусть $$k = 3j$$, где $$j \in \mathbb{Z}$$.

Теперь подставим $$k = 3j$$ обратно в первое уравнение для $$a$$:

$$a = 7k + 4 = 7(3j) + 4 = 21j + 4$$.

Это означает, что при делении числа $$a$$ на 21 получается остаток 4.

Ответ: 4