6. Найдите все целочисленные решения уравнения: a) xy = 4; б) xy + x = 2y + 6.

Решение:

а) xy = 4

Ищем пары целых чисел (x, y), произведение которых равно 4. Такими парами являются делители числа 4:

• Если \(x = 1\), то \(y = 4\).
• Если \(x = -1\), то \(y = -4\).
• Если \(x = 2\), то \(y = 2\).
• Если \(x = -2\), то \(y = -2\).
• Если \(x = 4\), то \(y = 1\).
• Если \(x = -4\), то \(y = -1\).

б) xy + x = 2y + 6

Перенесем все члены в одну сторону и попытаемся разложить на множители:

1. \(xy + x - 2y - 6 = 0\)
2. \(x(y+1) - 2(y+3) = 0\)
3. Чтобы получить множитель \((y+1)\), преобразуем второе слагаемое: \(x(y+1) - 2(y+1+2) = 0\)
4. \(x(y+1) - 2(y+1) - 4 = 0\)
5. \((x-2)(y+1) = 4\)

Теперь ищем пары целых чисел \((x-2)\) и \((y+1)\), произведение которых равно 4. Используем найденные в пункте а) пары делителей числа 4:

• 1. \(x-2 = 1\) и \(y+1 = 4\) → \(x = 3\) и \(y = 3\).
• 2. \(x-2 = -1\) и \(y+1 = -4\) → \(x = 1\) и \(y = -5\).
• 3. \(x-2 = 2\) и \(y+1 = 2\) → \(x = 4\) и \(y = 1\).
• 4. \(x-2 = -2\) и \(y+1 = -2\) → \(x = 0\) и \(y = -3\).
• 5. \(x-2 = 4\) и \(y+1 = 1\) → \(x = 6\) и \(y = 0\).
• 6. \(x-2 = -4\) и \(y+1 = -1\) → \(x = -2\) и \(y = -2\).

Ответ: а) (1, 4), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2), (4, 1), (-4, -1); б) (3, 3), (1, -5), (4, 1), (0, -3), (6, 0), (-2, -2).