11. Найдите наибольшее целое положительное решение системы \(\begin{cases} x-4 \le 1 - \frac{x-1}{4} \\ 2x - 0.5 > \frac{x}{2} - 1.5 \end{cases}\)

Решение:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $$x-4 \le 1 - \frac{x-1}{4}$$

1. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
2. $$4(x-4) \le 4(1) - (x-1)$$
3. $$4x - 16 \le 4 - x + 1$$
4. $$4x - 16 \le 5 - x$$
5. Перенесем члены с $$x$$ в левую часть, а константы — в правую:
6. $$4x + x \le 5 + 16$$
7. $$5x \le 21$$
8. $$x \le \frac{21}{5}$$
9. $$x \le 4.2$$

Второе неравенство: $$2x - 0.5 > \frac{x}{2} - 1.5$$

1. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби и десятичных знаков:
2. $$2(2x - 0.5) > 2(\frac{x}{2}) - 2(1.5)$$
3. $$4x - 1 > x - 3$$
4. Перенесем члены с $$x$$ в левую часть, а константы — в правую:
5. $$4x - x > -3 + 1$$
6. $$3x > -2$$
7. $$x > -\frac{2}{3}$$
8. $$x > -0.666...$$

Теперь объединим решения обоих неравенств:

$$\begin{cases} x \le 4.2 \\ x > -\frac{2}{3} \end{cases}$$

Таким образом, $$x$$ находится в интервале \((-\frac{2}{3}, 4.2]\).

Нам нужно найти наибольшее целое положительное решение. Целые числа в этом интервале: 1, 2, 3, 4.

Наибольшее из них — 4.

Ответ: 4