10. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно её боковым сторонам. Найдите углы трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Обозначим меньшее основание и боковую сторону через l, а горизонтальную проекцию боковой стороны — через x, высоту — через h. Перпендикулярность диагонали и боковой стороны даёт соотношение \(h^2=x(x+l)\). По теореме Пифагора для боковой стороны \(h^2+x^2=l^2\).

Приравнивая выражения для \(h^2\), получаем \(x(x+l)=l^2-x^2\). Если \(t=\frac{x}{l}\), то \(2t^2+t-1=0\), откуда положительное значение \(t=\frac12\).

Для угла при большем основании \(\cos\alpha=\frac{x}{l}=\frac12\), поэтому \(\alpha=60°\). Соседний угол трапеции равен \(180°-60°=120°\).

Ответ: 60° и 120°.