10. ML = 4, ∠MNK = 135°. На рисунке MNKL — трапеция, R и Q — середины боковых сторон ML и NK, ∠LNK = 90°. Найти RQ.

Поскольку MN ∥ LK, угол между NK и горизонтальным основанием равен 180° − 135° = 45°. Так как NL ⟂ NK, угол MNL равен 45°. Треугольник MNL прямоугольный, поэтому при углах 45° и 45° его катеты равны: MN = ML = 4.

В прямоугольном треугольнике LNK угол при K также равен 45°, поэтому LK = LN. Из равенства катетов треугольника MNL следует LN = MN√2 = 4√2. Однако для средней линии нужны длины оснований MN и LK; поскольку угол при K равен 45° и высота трапеции ML равна 4, горизонтальное расстояние от L до K равно 4, следовательно, LK = MN + 4 = 8.

R и Q — середины боковых сторон, значит, RQ — средняя линия трапеции:

RQ = (MN + LK) / 2 = (4 + 8) / 2 = 6.

Ответ: 6.