10. Моторная лодка прошла против течения реки 234 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ

Решение:

1. Пусть \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
2. Скорость лодки против течения: \( v - 4 \) (км/ч).
3. Скорость лодки по течению: \( v + 4 \) (км/ч).
4. Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против} = \frac{234}{v-4} \) (ч).
5. Время, затраченное на путь по течению: \( t_{по} = \frac{234}{v+4} \) (ч).
6. По условию, на обратный путь (по течению) затрачено на 4 часа меньше: \( t_{по} = t_{против} - 4 \).
7. Подставим выражения для времени: \( \frac{234}{v+4} = \frac{234}{v-4} - 4 \).
8. Решим уравнение:
• Перенесем \( \frac{234}{v-4} \) в левую часть: \( \frac{234}{v+4} - \frac{234}{v-4} = -4 \).
• Умножим обе части на -1: \( \frac{234}{v-4} - \frac{234}{v+4} = 4 \).
• Приведем левую часть к общему знаменателю \( (v-4)(v+4) \): \( \frac{234(v+4) - 234(v-4)}{(v-4)(v+4)} = 4 \).
• \( \frac{234v + 936 - 234v + 936}{v^2 - 16} = 4 \).
• \( \frac{1872}{v^2 - 16} = 4 \).
• \( 1872 = 4(v^2 - 16) \).
• \( 1872 = 4v^2 - 64 \).
• \( 4v^2 = 1872 + 64 \).
• \( 4v^2 = 1936 \).
• \( v^2 = \frac{1936}{4} \).
• \( v^2 = 484 \).
• \( v = \sqrt{484} \).
• \( v = 22 \).
9. Проверим ОДЗ: \( v \) должно быть больше скорости течения, то есть \( v > 4 \). \( 22 > 4 \).
10. Найдем время:
• \( t_{против} = \frac{234}{22-4} = \frac{234}{18} = 13 \) часов.
• \( t_{по} = \frac{234}{22+4} = \frac{234}{26} = 9 \) часов.
• Разница во времени: \( 13 - 9 = 4 \) часа. Условие выполняется.

Ответ: 22 км/ч