10. Моторная лодка прошла против течения реки 234 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
Скорость лодки против течения: \( v - 4 \) (км/ч).
Скорость лодки по течению: \( v + 4 \) (км/ч).
Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против} = \frac{234}{v-4} \) (ч).
Время, затраченное на путь по течению: \( t_{по} = \frac{234}{v+4} \) (ч).
По условию, на обратный путь (по течению) затрачено на 4 часа меньше: \( t_{по} = t_{против} - 4 \).
Подставим выражения для времени: \( \frac{234}{v+4} = \frac{234}{v-4} - 4 \).
Решим уравнение:

Перенесем \( \frac{234}{v-4} \) в левую часть: \( \frac{234}{v+4} - \frac{234}{v-4} = -4 \).
Умножим обе части на -1: \( \frac{234}{v-4} - \frac{234}{v+4} = 4 \).
Приведем левую часть к общему знаменателю \( (v-4)(v+4) \): \( \frac{234(v+4) - 234(v-4)}{(v-4)(v+4)} = 4 \).
\( \frac{234v + 936 - 234v + 936}{v^2 - 16} = 4 \).
\( \frac{1872}{v^2 - 16} = 4 \).
\( 1872 = 4(v^2 - 16) \).
\( 1872 = 4v^2 - 64 \).
\( 4v^2 = 1872 + 64 \).
\( 4v^2 = 1936 \).
\( v^2 = \frac{1936}{4} \).
\( v^2 = 484 \).
\( v = \sqrt{484} \).
\( v = 22 \).

Проверим ОДЗ: \( v \) должно быть больше скорости течения, то есть \( v > 4 \). \( 22 > 4 \).
Найдем время:

Ответ: 22 км/ч