9. Решите уравнение \(\frac{7x+3}{x-6} = \frac{x-6}{5x-1}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x-6 \neq 0 \) и \( 5x-1 \neq 0 \). Следовательно, \( x \neq 6 \) и \( x \neq \frac{1}{5} \).
2. Приведем уравнение к виду \( (7x+3)(5x-1) = (x-6)^2 \).
3. Раскроем скобки:
• Левая часть: \( (7x+3)(5x-1) = 35x^2 - 7x + 15x - 3 = 35x^2 + 8x - 3 \).
• Правая часть: \( (x-6)^2 = x^2 - 12x + 36 \).
4. Приравняем выражения: \( 35x^2 + 8x - 3 = x^2 - 12x + 36 \).
5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 35x^2 - x^2 + 8x + 12x - 3 - 36 = 0 \).
6. \( 34x^2 + 20x - 39 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 34 \cdot (-39) = 400 + 5304 = 5704 \).
8. Найдем корни:
• \( x_1 = \frac{-20 + \sqrt{5704}}{2 \cdot 34} = \frac{-20 + \sqrt{5704}}{68} \)
• \( x_2 = \frac{-20 - \sqrt{5704}}{2 \cdot 34} = \frac{-20 - \sqrt{5704}}{68} \)
9. \( \sqrt{5704} \approx 75,52 \)
10. \( x_1 \approx \frac{-20 + 75,52}{68} = \frac{55,52}{68} \approx 0,816 \)
11. \( x_2 \approx \frac{-20 - 75,52}{68} = \frac{-95,52}{68} \approx -1,405 \)
12. Проверим ОДЗ: \( 0,816 \neq 6 \) и \( 0,816 \neq 0,2 \). \( -1,405 \neq 6 \) и \( -1,405 \neq 0,2 \).
13. Больший из корней: \( x_1 \approx 0,816 \).

Ответ: \(\frac{55,52}{68}\) (приблизительно 0,816)