10. На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, треугольник AMN равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) имеем \(AB=AC\). Поэтому углы при основании равны: \(\angle ABC=\angle BCA\).

Точки \(M\) и \(N\) лежат на основании \(BC\), причём \(BM=CN\). Тогда из равенства \(BC=BM+MN+CN\) следует:

\(MN=BC-2BM\).

Кроме того, поскольку \(AB=AC\), а от точек \(M\) и \(N\) до концов основания отложены равные отрезки, симметрия равнобедренного треугольника относительно высоты из вершины \(A\) переводит точку \(M\) в точку \(N\). Следовательно, \(AM=AN\).

Значит, треугольник \(AMN\) равнобедренный.

Что и требовалось доказать.