10. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Перенесите рисунок в тетрадь. а) Подпишите около рёбер недостающие вероятности. б) Найдите вероятность события А.

Решение:

Для решения задачи нам нужно дополнить дерево вероятностей и затем рассчитать вероятность события А.

а) Дополнение дерева вероятностей:

На рисунке показано дерево вероятностей. В точке S происходит первое событие, у которого два исхода с вероятностями 0.1 и 0.3. Далее, из каждого из этих исходов следуют другие, и только один из них ведет к событию А.

1. Первая ветка: Из S идет ветка с вероятностью 0.1. Если эта ветка продолжается, то сумма вероятностей должна быть равна 1. На рисунке есть ветка с неизвестной вероятностью, ведущая дальше, и ветка, ведущая к событию А, с вероятностью 0.2. Предположим, что ветка с вероятностью 0.1 продолжается, и из нее следует ветка с неизвестной вероятностью. Очевидно, что если вероятность одной ветки 0.1, то вторая ветка (которая не изображена явно, но подразумевается, чтобы сумма вероятностей была 1) должна иметь вероятность 0.9. Но рисунок показывает, что из точки, куда ведет ветка 0.1, идет ветка с вероятностью 0.4, которая ведет к событию А. А из точки, куда ведет ветка 0.3, идет ветка с вероятностью 0.4, которая ведет к событию А. И также из точки, куда ведет ветка 0.1, идет ветка с вероятностью 0.2, которая также ведет к событию А.

Из анализа рисунка, где стрелки указывают на событие А:

• Из точки, куда ведет ветка с вероятностью 0.1, идет ветка с вероятностью 0.4, которая ведет к событию А.
• Из точки, куда ведет ветка с вероятностью 0.3, идет ветка с вероятностью 0.4, которая ведет к событию А.
• Также из точки, куда ведет ветка с вероятностью 0.1, идет ветка с вероятностью 0.2, которая ведет к событию А.

Важно: Сумма вероятностей всех исходящих ветвей из одной точки должна быть равна 1. На рисунке показаны лишь некоторые ветви, ведущие к событию А.

Из точки S исходят две ветви с вероятностями 0.1 и 0.3. Это значит, что есть и другие ветви, но они не ведут к А. А это значит, что 0.1 + 0.3 = 0.4, и оставшаяся вероятность 0.6 идет по другим ветвям, которые не ведут к А.

Исходя из рисунка, мы видим, что к событию А ведут следующие ветви:

• Ветка с вероятностью 0.1, затем ветка с вероятностью 0.4.
• Ветка с вероятностью 0.3, затем ветка с вероятностью 0.4.
• Ветка с вероятностью 0.1, затем ветка с вероятностью 0.2.

Недостающие вероятности:

Для ветки с начальной вероятностью 0.1, если одна из исходящих ветвей имеет вероятность 0.4, а другая 0.2, то сумма их 0.4 + 0.2 = 0.6. Значит, оставшаяся вероятность из этой точки равна 1 - 0.6 = 0.4. Но эта ветвь не ведет к А.

Для ветки с начальной вероятностью 0.3, если одна из исходящих ветвей имеет вероятность 0.4, то оставшаяся вероятность из этой точки равна 1 - 0.4 = 0.6. Но эта ветвь не ведет к А.

Перерисованное дерево с обозначениями:

/-- 0.4 --> A (0.1 * 0.4 = 0.04)

S -- 0.1 --|-- 0.2 --> A (0.1 * 0.2 = 0.02)

ake-branch-0.4

/-- 0.4 --> A (0.3 * 0.4 = 0.12)

-- 0.3 --|-- 0.6 -- (не А)

Исправленная интерпретация дерева:

Событие S имеет два возможных исхода с вероятностями 0.1 и 0.3. Это значит, что есть еще один исход из S с вероятностью $$1 - 0.1 - 0.3 = 0.6$$, но он не показан и не ведет к А.

Из исхода с вероятностью 0.1, ведут две ветви, одна из которых ведет к А с вероятностью 0.4, другая с вероятностью 0.2.

Из исхода с вероятностью 0.3, одна ветвь ведет к А с вероятностью 0.4.

Итак, заполненные вероятности:

• Из S, ветка 1: 0.1
• Из S, ветка 2: 0.3
• Из S, ветка 3 (не показана): 0.6
• Из ветки 0.1, ветка к А: 0.4
• Из ветки 0.1, другая ветка к А: 0.2
• Из ветки 0.3, ветка к А: 0.4

б) Найдите вероятность события А.

Событие А может произойти тремя путями, согласно дереву вероятностей:

1. Первый исход из S (0.1) И второй исход из него (0.4).
2. Первый исход из S (0.1) И третий исход из него (0.2).
3. Второй исход из S (0.3) И первый исход из него (0.4).

Чтобы найти вероятность каждого пути, мы перемножаем вероятности на ветвях:

• Путь 1:
  \[ 0.1 \times 0.4 = 0.04 \]
• Путь 2:
  \[ 0.1 \times 0.2 = 0.02 \]
• Путь 3:
  \[ 0.3 \times 0.4 = 0.12 \]

Чтобы найти общую вероятность события А, мы складываем вероятности всех этих путей, так как они являются взаимоисключающими:

\[ P(A) = 0.04 + 0.02 + 0.12 = 0.18 \]

Ответ:

• а) Недостающие вероятности:
• Из точки S: 0.1, 0.3, 0.6 (последняя не показана, но подразумевается)
• Из точки, куда ведет 0.1: 0.4 (к А), 0.2 (к А), 0.4 (не к А, так как 0.4+0.2=0.6, значит 1-0.6=0.4)
• Из точки, куда ведет 0.3: 0.4 (к А), 0.6 (не к А, так как 1-0.4=0.6)
• б) Вероятность события А = 0.18