10. На рисунке: точки R, E, F, S лежат на одной прямой в указанном порядке; RT = ST, а RE = FS. Докажите, что ET = FT.

Пусть прямая RS пересекает отрезок ET в точке E и отрезок FT в точке F. По отметкам на рисунке RT = ST и RE = FS.

1. Так как R, E, F, S расположены на одной прямой, RS = RE + EF + FS.
2. Из RE = FS следует, что середина отрезка RS совпадает с серединой EF.
3. Поскольку RT = ST, точка T равноудалена от R и S. Значит, T лежит на серединном перпендикуляре к RS.
4. Серединный перпендикуляр к RS проходит через середину EF и перпендикулярен прямой RS. Поэтому он также является серединным перпендикуляром к EF.
5. Точка T лежит на серединном перпендикуляре к EF, следовательно, TE = TF.

Ответ: ET = FT.