10. На стороне MK ромба AMKC лежит точка B так, что MB = BK, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы AO, AB, BO через векторы a = AM и b = AC.

Обозначим точку A за начало отсчёта. Так как AMKC — ромб, это параллелограмм, поэтому диагональ AK задаётся суммой векторов его смежных сторон: \(\overrightarrow{AK}=\mathbf a+\mathbf b\).

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\mathbf a+\mathbf b)\).
2. B — середина MK. Поскольку \(\overrightarrow{MK}=\mathbf b\), имеем \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MK}=\mathbf a+\frac{1}{2}\mathbf b\).
3. \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\mathbf a+\mathbf b)-(\mathbf a+\frac{1}{2}\mathbf b)=-\frac{1}{2}\mathbf a\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\mathbf a+\mathbf b),\quad \overrightarrow{AB}=\mathbf a+\frac{1}{2}\mathbf b,\quad \overrightarrow{BO}=-\frac{1}{2}\mathbf a\).