12. *В треугольнике AMN точка O — точка пересечения медиан. Выразите вектор AO через векторы a = AM и b = AN.

Точка пересечения медиан треугольника — центр тяжести; она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Возьмём A за начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин M и N равны соответственно \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\), а радиус-вектор середины MN равен \(\frac{1}{2}(\mathbf a+\mathbf b)\).

Центр тяжести делит медиану из A в отношении 2:1, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\mathbf a+\mathbf b)=\frac{1}{3}(\mathbf a+\mathbf b)\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}(\mathbf a+\mathbf b)\).